Permutação simples – O que é? Exemplos e Exercícios resolvidos!
Está com dúvidas nas aulas de matemática sobre permutação simples? Aqui, no Gestão Educacional, você confere informações completas sobre o assunto!
- Publicado: 18/09/2019
- Atualizado: 18/09/2019: 10 52
- Por: Natália Alves
Permutar é sinônimo de trocar a ordem, embaralhar, trocar objetos de posição. Quando calculamos a permutação de um número de objetos, estamos calculando quantos agrupamentos são possíveis de formar com esses elementos, usando todos em cada agrupamento.
A permutação simples é igual à fatorial de um número. Dado um número inteiro, a permutação simples desse número será a multiplicação dele mesmo e de seus antecessores inteiros até o número 1.
Princípio fundamental da contagem
A partir do que chamamos de árvore de possibilidades, podemos, por exemplo, saber quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3, sem repeti-los num mesmo número.Assim, temos: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Pelo princípio fundamental da contagem, são 3 . 2 . 1 = 6 possibilidades.
Observe que a ordem dos algarismos é algo importante, ou seja, todos os números diferem entre si pela ordem de seus algarismos.
Usamos a permutação simples para: resolver exercícios que pedem anagramas; organizar objetos em diferentes lugares; formar números naturais de algarismos distintos, entre outros problemas que troquem a ordem de todos os objetos do conjunto.
O que é permutação simples?
Se temos n elementos distintos, então o número de agrupamentos ordenados (diferentes pela ordem) que podemos obter com todos esses n elementos é dado por: Pn = n . (n – 1) . (n – 2) . … . 3 . 2 . 1 = n!
Exemplos
- P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120;
- P2 = 2 . 1 = 2;
- P8 = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320.
Exercícios resolvidos
1) De quantas maneiras podem ser arrumados de forma horizontal três selos: 1 da Argentina, 1 do Brasil e 1 do Chile? Quais são essas maneiras?
RESOLUÇÃO:
Vamos indicar o selo da Argentina por A, do Brasil por B e do Chile por C. Podemos assim construir a árvore de possibilidades:Usando o princípio fundamental da contagem, temos: 3! = 3 . 2 . 1 = 6 possibilidades.
Logo, é possível arrumar os três selos de 6 maneiras diferentes.
Os agrupamentos ordenados são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
2) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se sentar num banco de 5 lugares para tirar uma foto?
Resolução:
Nesse exercício, vamos utilizar a permutação simples P5 para descobrir:
P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 maneiras.
3) Responda:
- a) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO?
- b) Quantos são os anagramas da palavra perdão que começam com P e terminam com O?
c)Quantos são os anagramas da palavra perdão em que as letras PER aparecem juntas, em qualquer ordem?
- d) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que A e O aparecem juntas nessa ordem?
- e) Quais são os anagramas em que P e O aparecem nos extremos?
Resolução:
- a) Basta calcular 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720.
- b) Anagramas iniciados com P e terminados com O:
P _ _ _ _ O
Devemos permutar quatro letras que não são fixas, sendo elas E, R, D e Ã.
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas.
- c) Considerando PER como uma só letra, temos outras três letras restantes para permutar além dessa consideração.
Faremos:
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades.
Como as três letras de PER podem aparecer em qualquer ordem, temos P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 possibilidades de escreve-las juntas.
Assim, o número total de anagramas pedido é:
4! . 3! = 24 . 6 = 144 anagramas.
- d) Vamos considerar que a expressão ÃO é uma só letra. Restam ainda quatro letras para serem permutadas além dessa. Vamos, portanto, fazer uma permutação de 5 letras:
P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 anagramas.
- e) Quando P e O aparecem nos extremos, dois casos podem acontecer:
P _ _ _ _ O
Ou
O _ _ _ _ P
Temos o primeiro caso no qual vamos permutar quatro letras. Em seguida, somamos com a permutação de quatro letras no segundo caso:
P4 + P4 = 2.P4 = 2 . 4! = 2 . 4 . 3 . 2 . 1 = 2 . 24 = 48 anagramas.