Dois triângulos são semelhantes quando a medida dos seus ângulos correspondentes é igual. Essa é uma característica que pode ser aplicada apenas aos triângulos, pois, para os outros polígonos serem semelhantes, além dos ângulos correspondentes congruentes, a medida dos lados também deve ser conferida, e é preciso, também, verificar se existe proporcionalidade entre elas.
Essa propriedade dos triângulos é usada para resolvermos diversos problemas, e há muitos séculos existem instrumentos para medir ângulos. Na astronomia e na navegação, por exemplo, é essencial saber usar esses instrumentos, bem como conhecer semelhança de triângulos. Topógrafos usam teodolitos para medir ângulos e distâncias e, junto com conhecimentos matemáticos, como os do texto a seguir, elaborar plantas e mapas.
Figuras semelhantes
Geralmente, quando dizemos que duas coisas são semelhantes, estamos falando que elas são parecidas. Na matemática, para duas figuras serem semelhantes, elas precisam ter ângulos correspondentes semelhantes (iguais) e lados com medidas proporcionais.
A semelhança entre figuras ocorre a partir de uma ampliação ou redução perfeita. Por exemplo: dois triângulos retângulos são sempre semelhantes. Seus ângulos são sempre iguais (60º) e seus lados aumentam ou diminuem todos proporcionalmente.
Dois cubos e círculos também são sempre semelhantes. Porém, nem sempre dois triângulos são semelhantes. Precisamos então estabelecer alguns critérios que precisam ser confirmados para dois triângulos serem iguais.
Semelhança de triângulos: o que é?
Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem duas condições:
- As medidas dos lados que se correspondem são proporcionais;
- As medidas dos ângulos que se correspondem são iguais.
Porém, para dois triângulos serem semelhantes, basta que os seus ângulos respectivos sejam iguais. Mas lembre-se: essa propriedade só é válida para triângulos.
Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Os ângulos pintados da mesma cor são iguais.
Além disso, existe uma constante k chamada de razão de semelhança. Essa constante é o número usado para multiplicar a medida de todos os lados do triângulo ABC e assim obter a medida dos lados do triângulo DEF.
Veja que as medidas dos lados do triângulo ABC são a, b e c. Para o triângulo DEF ser semelhante a ABC, devemos multiplicar as medidas a, b, c pela constante k.
Portanto, analisando a figura abaixo, você verá que as medidas dos lados do triângulo DEF são k.a, k.b e k.c. 
Caso você não conheça essa constante, mas saiba a medida de dois lados correspondentes, podemos estabelecer a seguinte relação para encontrá-la:
RESUMINDO:
Como os dois triângulos são semelhantes, podemos afirmar que:
são ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida);
são ângulos congruentes;
são ângulos congruentes;
Os lados correspondentes são proporcionais, ou seja, existe um número real positivo k, tal que:
Teorema fundamental da proporcionalidade
Se uma reta paralela a um dos lados do triângulo corta os outros dois lados de um em dois pontos diferentes, os dois triângulos formados serão semelhantes.
Na figura abaixo, os triângulos ABC e ADE são semelhantes
Ou seja, basta a reta DE ser paralela à BC que podemos concluir que os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
Outro caso especial desse teorema é o seguinte: se duas retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, dois triângulos semelhantes são formados. Observe a figura abaixo:
O triângulo ABO é semelhante ao triângulo ODE.
Casos de semelhança de triângulo
Caso A.A. (ângulo – ângulo)
- Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes.
Caso L.A.L. (lado – ângulo – lado)
Para esse caso ocorrer, precisamos que:
1) Dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo;
2) Os ângulos internos formados por esses lados são congruentes.
Caso L.L.L (lado – lado – lado)
Se os três lados de um triângulo forem proporcionais com os lados correspondentes de outro triangulo, os dois são semelhantes.
Caso L.A.A (lado – ângulo – ângulo)
Para termos esse caso, os triângulos devem ter os ângulos opostos e adjacentes a um lado com a mesma medida. Além disso, esse lado desse ser proporcional ao lado do outro triângulo.
Caso A.L.A (ângulo – lado – ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se existir um lado proporcional ao lado do outro triângulo. Além disso, os ângulos que tocam os extremos desse lado devem ser iguais.
As propriedades da potenciação são ferramentas que simplificam operações envolvendo exponenciação. Conheça cada uma delas!
